Jumat, 31 Agustus 2012

Apakah Matematika Itu?

Sebelumnya, ini hanya pemikiran pribadi saja. Saya bukan expert, bukan profesor dan semacamnya. Saya hanya seorang fans dari ilmu yang bernama matematika ini. :)

Apa itu matematika?

Di mana pun kita baca tentang definisi matematika, di situ tidak akan ada definisi tunggal. Ada yang menyebutkan matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang bilangan, yang lain mengatakan ilmu yang mempelajari tentang pola dan hubungan, yang lain lagi mengatakan ilmu yang mempelajari tentang keteraturan dan susunan. Sampai saat ini belum didefinisikan secara jelas definisi matematika seperti halnya biologi, yaitu ilmu yang mempelajari tentang makhluk hidup. Maka, boleh saja jika setiap orang mendefinisikan matematikanya sendiri.

Menurut saya, matematika itu kehidupan. Math is life itself. Matematika adalah ketika seorang anak diminta ibunya untuk berbelanja, kemudian menghitung kembaliannya apakah sudah pas, kelebihan, atau kekurangan. Begitu juga dengan penjualnya. Walaupun ia harus menggunakan alat bantu kalkulator, tapi ia sendiri juga sedang bermatematika. Matematika adalah juga ketika seorang guru harus mengajar pukul 07.00 sedangkan ia berjarak 20 km dari rumah, kemudian memperkirakan pukul berapa seharusnya ia berangkat agar tidak terlambat, sekaligus mempertimbangkan kemacetan yang akan terjadi di jalan. Matematika adalah ketika seorang ibu berbelanja di supermarket, mempertimbangkan harga minyak 1 liter dari satu merk ke merk yang lain, satu supermarket ke supermarket yang lain. Matematika adalah ketika seorang nenek pada saat lebaran memberikan angpau ke cucunya dan bilang, "cu, ini 100rb untuk kamu dan kakak, masing2 50ribu ya, biar ndak berantem". Matematika adalah ketika tim peneliti dari setiap negara mempertimbangkan letak satelit yang akan diluncurkannya. Matematika adalah ketika seorang anak pulang sekolah memilih jalan yang lebih pendek sehingga lebih cepat untuk sampai ke rumah. benar kan? matematika itu kehidupan.


Arsitek butuh matematika, praktisi ekonomi butuh matematika, murid butuh matematika, penjual ikan pun butuh matematika. Tidak setiap orang harus tau kalkulus, tapi dia harus bisa bermatematika. Tidak setiap orang wajib mempelajari geometri, tapi ia tetap bisa bermatematika. Tidak setiap orang harus belajar ini, itu, cabang-cabang matematika, tetapi ia tetap bisa bermatematika.


Pernah saya ditanya, apa gunanya anak sekolah mempelajari integral, diferensial, limit, polinomial dan semacamnya kalau besok ia ternyata jadi teller di bank? apa ya? sempat mikir juga. Tapi karena pertanyaan ini saya jadi memikirkan lebih jauh mengapa matematika diajarkan di sekolah. Dan saya rasa jawabannya adalah karena materi apa pun terkait mata pelajaran matematika yang diajarkan di sekolah tujuannya adalah untuk membentuk kemampuan berpikir kita. Di jalan, kita tidak akan bertemu orang yang tiba-tiba bertanya, "Mas, integral dari fungsi ini apa ya?", tapi mungkin kita bertemu orang yang bertanya, "Mas, kalau ke Stasiun Tawang dari sini berapa jam ya? lebih cepat naik bus atau angkot? kira-kira lebih murah mana?". Di situ kita berpikir, mengingat, membandingkan, dan semua itu terkait matematika. Sebut saja matematika di sekolah itu adalah sebagai asah otak.


Panjang kira-kira kalau membicarakan matematika ini. semakin lama semakin banyak yang harus dibahas. Kira-kira, seperti itu pandangan saya tentang matematika. Bagaimana dengan Anda? :)

Tebak bilangannya!

Ketika tiga bilangan berurutan dijumlahkan hasilnya adalah 3, berapakah bilangan tersebut?

Jawab:
misalkan bilangan tersebut adalah a-1, a, a+1, maka kita peroleh:
a-1+ a + a + 1 = 3
3a = 3
a = 1
jadi bilangan tersebut adalah: 1-1, 1, 1+1 => 0, 1, 2.
cek:
0 +1 +2 = 3

sumber:  Zevenberg, Robyn et al. 2004. Teaching Mathematics in Primary School.

Berapakah jumlah koin paling banyak yg dimiliki kakak?

Kakak adik masing-masing mempunyai beberapa uang koin  lima ratusan. setelah ibu memberi si kakak 3 koin, kakak membagi setengah jumlah koinnya dengan adik. ia melakukan hal yang sama ketika ayah, kemudian nenek memberinya 3 koin lainnya.adiknya sekarang mempunya koin 5 kali lebih banyak dari kakaknya. Berapakah maksimum jumlah koin yang dimiliki kakak mula-mula?

Jawab:
misalkan jumlah koin yang dimiliki kakak = a, yg dimiliki adik =b 
(1)kakak diberi ibu 3 koin, maka koin kakak = a+3, koin adik = b
(2)kakak memberi adik setengahnya, maka koin kakak = (a+3)/2, koin adik = b+ (a+3)/2
(3)kakak diberi ayah 3 koin lagi, koin kakak = (a+3)/2 + 3 = (a+9)/2
(4)kakak memberi adik setengahnya, maka koin kakak = (a+9)/4, koin adik = b+ (a+3)/2 + (a+9)/4
(5)kakak diberi nenek 3 koin lagi, koin kakak = (a+9)/4 +3 = (a+21)/4
(6)kakak memberi adik setengahnya, maka koin kakak = (a+21)/8, koin adik = 
 b+ (a+3)/2 + (a+9)/4 + (a+21)/8
(7)pada akhirnya adik mempunyai koin 5 kali lebih banyak dari koin kakak, maka:
   b+ (a+3)/2 + (a+9)/4 + (a+21)/8 = 5*(a+21)/8
  8b+4a+12+2a+18+a+21= 5a + 105
  8b+2a = 54 => a = 27 - 4b
dikatakan bahwa adik mempunyai beberapa koin, artinya minimal adik memiliki 2 koin. jika ia punya minimum, kakak akan mempunyai maksimum. maka maksimum jumlah koin yang dimiliki kakak = 27 - 4*2 = 19 koin.

asik bukan? :)


Jumat, 11 Maret 2011

dua bilangan misterius

Pertanyaan:
ada dua buah bilangan, dimisalkan a dan b. jika dikalikan menghasilkan n, jika dijumlahkanjuga menghasilkan n, jika dibagi juga menghasilkan nilai n. berapakah a, b, dan n?


Jawaban:
a=1/2
b=-1
n=-1/2

Alasan:
dari soal di atas, dapat kita buat persamaan-persamaan berikut:
a+b=n
a.b=n
a/b=n
n = a + b
...

ab = a + b
ab – b = a
b(a – 1) = a
b = a/(a – 1)

a/(a/(a – 1)) = a + a/(a – 1)
a – 1 = a + a/(a – 1)
(a – 1)² = a(a – 1) + a
a² – 2a + 1 = a² – a + a
–2a + 1 = 0
–2a = –1
a = 1/2

b = (1/2)/(1/2 – 1)
b = (1/2)/(–1/2)
b = –1

n = 1/2 – 1
n = –1/2

cek:
1/2 + (–1) = –1/2
(1/2)(–1) = –1/2
(1/2)/(–1) = –1/2

Sehingga, a = 1/2 and b = –1.

Sumber : http://www.facebook.com/TeachersofMathematics

35 koin & 9 kantong koin


Pertanyaan:

Jika anda mempunya 35 buah koin dan 9 kantong, mungkinkah 9 kantong tersebut diisi koin dengan jumlah yang berbeda setiap kantongnya?


Jawaban:
Tidak mungkin.

Alasan:
Jumlah minimum koin dalam tiap kantong adalah sebagai berikut: 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36 >35. sehingga tidak mungkin semua kantong dapat terisi koin dengan jumlah yang berbeda tiap kantongnya. paling tidak jika kita ingin menggunakan jumlah minimum tersebut, kantong terakhir berisi 7 koin (sama dengan kantong sebelumnya). harus ada salah satu kantong (kecuali kantong pertama) yang dikurangi 1 koin sehingga akan sama dengan jumlah koin di kantong sebelumnya.


Sumber: http://www.facebook.com/TeachersofMathematics